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By Horst Lippmann

ISBN-10: 3540556273

ISBN-13: 9783540556275

Die Tensorrechnung ist ein formaler, programmierbarer Kalk?l von speziellem Nutzen in der angewandten Mathematik, in der theoretischen Physik und in den theoretisch oder numerisch orientierten Ingenieurwissenschaften. Hier lernt guy fr?hzeitig, beispielsweise mit mechanischen Spannungen und Verformungen in festen, fl?ssigen oder gasf?rmigen K?rpern sowie mit Tr?gheitsmomenten, Fl?chenkr?mmungen und anderen Gr??en umzugehen, welche sogar dann Tensoren sind, wenn guy es verschweigt. Die Kristallkunde beruht in ganz besonderem Ma?e auf der Tensorrechnung, und viele numerische Methoden der Kontinuumsphysik werden erst bei tensorieller Darstellung durchsichtig. Dieses Lehrbuch ist als Einf?hrung zu verstehen, und zwar f?r Ingenieure, Physiker oder angewandte Mathematiker. Es beruht auf einer Vorlesung f?r Studenten h?herer Semester und setzt Vorkenntnisse entsprechend den ?blichen Lehrveranstaltungen in Mathematik und Mechanik voraus. Es werden Anwendungen der Tensorrechnung auf Probleme der Mechanik, der Elektrodynamik und anderer Bereiche behandelt. Den einzelnen Kapiteln sind ?bungsaufgaben angef?gt, die teilweise aufeinander aufbauen. Ihre L?sungen werden gesondert zusammengefa?t.

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Man spricht daher auch von einer "Rech tshand "-bzw. "Linkshand -Orientierung". Oft zeichnet man eine der beiden Basisorientierungen willkürlich als positiv (+ ), die andere als negativ (-) aus und spricht dann von einem orientierten Raum. 6 geschieht dies beispielsweise in bezug auf die Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn (n = 2) bzw. auf die Rechtsschrauben-/Rechtshandorientierung (n = 3) als positive Orientierungen des Raumes. In der Folge setzen wir einen orientierten Raum stillschweigend stets dann voraus, wenn er für bestimmte Betrachtungen benötigt wird.

3/5: Die Länge des Vektorproduktes entspricht dem Betrag des Hyperflächen-Inhaltes der Faktoren. 3/4) läßt sich auch in der Form 1 (k) n-1 1 (k) n-1 [u, ... , U, . . , U ] = 1X[U, ... , V, ... ur (k) u + ß[u, ... , w, ... 3/8) W ausdrücken, worin <~>, weitere, an k-ter Stelle des Produktes stehende Vektoren und IX, ß Skalare darstellen. Ferner ändert das Vektorprodukt bei gegenseitiger Vertauschung je zweier Faktoren das Vorzeichen. Es setzt eine Raumorientierung voraus und hängt von dieser ab, ist also ein axialer Tensor 1.

Von einer kartesischen Basis g1 = g1 aus erreicht man die kovariante bzw. 3/4) durch die Matrizen b = a bzw. b = ä. 3/15) Basisvolumina verschwinden also niemals, und die ko- bzw. kontravarianten Basisvolumina sind zueinander invers. Für linear abhängige Vektoren~•... , ~ 30 2 Skalare und Vektoren im Euklidischen Raum sind, ausgehend von einer Basis, auch die Zeilen der Umrechnungsmatrix b linear abhängig: det{b} = 0. 3/2: Linear abhängige Vektor- n- tupel, und nur diese, besitzen ein I Satz verschwindendes Spatvolumen.

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